MATERI UJIAN "BARISAN DAN DERET"

Ketika Carl Friedrich Gauss (matematikawan Jerman) berumur 10 tahun, ia dan teman sekelasnya mendapat tugas dari guru mereka untuk menghitung jumlah bilngan bulat dari 1 sampai 100. Pada mulanya guru itu yakin bahwa ia telah memberikan tugas kepada murid-muridnya yang akan membutuhkan waktu cukup lama untuk mengerjakannya, tetapi sesaat kemudian Gauss memberikan jawabannya yang ditulis pada selembar kertas. Guru itu mengecek jawaban tersebut dan ia terkejut melihat Gauss telah menemukan jawaban yang benar.

Ternyata, untuk menemukan jawaban tugas itu, Gauss menggunakan skema berikut :

1       +  2   +  3   +... + 99 + 100

100+ 99 + 98  +…+ 2   + 1                                                  +

101+101+101 +…+101+101 = 101 X 100 = 10.100

sehingga Gauss menyimpulkan bahwa jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 100 adalah 10.100 : 2 = 5.050 

A.       Barisan dan Deret Aritmatika .

1.     Barisan Aritmatika

       U₁, U₂, U₃, … U_n

       a,  a + b,  a + 2b, …  a+ (n-1)b

2.     Deret  Aritmatika

      U₁ + U₂ + U₃ + … U_n

       a + (a + b) + ( a + 2b) +  …  (a+ (n-1)b )

dengan b = U_n – U _{(n –1)}

Suku ke n  :

       U_n = a + (n-1)b

Jumlah n suku pertama :

              Sn = ½n (a + U_n)

                   = ½n (2a + (n-1) b )

Un = S_n – S_(n-1)

B.       Barisan dan Deret Geometri

1.   Barisan Geometri

       U₁, U₂, U₃, … U_n

       a,  ar,  ar², …  ar^n-1

2.   Deret  Geometri

       U₁ + U₂ + U₃ + … U_n

       a  +  ar +  ar² + …  + ar^n-1

dengan rasio =  r =

Suku ke n        =  U_n = a . r^n-1

3.   Jumlah n suku pertama

Sn =    ,  r > 1

Sn =    ,  0 < r < 1

Contoh :

1)     Suku ke 20 dari barisan aritmetika 7, 10, 13, 16, … adalah ….

Pembahasan :

Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 7 dan beda b = 3

Un = a + (n –1) b

U₂₀ = 7 + (10 – 1) 3

               = 7 + 57

   = 64

     

2)     Dari sebuah deret aritmatika diketahui suku ke 3 adalah 9, sedangkan jumlah suku ke lima dan ke tujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku yang pertama deret tersebut adalah ....

Pembahasan :

Un = a + (n –1) b

U₃ = 9 maka a + 2b = 9                       ………(i)

U₅ + U7 = 36 maka  a + 4b + a +6b  = 36

                                    2a + 10b = 36  ……..(ii)

a   +   2b = 9    I x 1     a   +   2b = 9

2a + 10b = 36  II x ½    a   +  5b  = 18

   -3b = -9

                                                   b = 3

b = 3  subtitusi   a   +   2b = 9   maka a = 3

S₁₀  =  {2 . 3 + (10 – 1)9 }

    = 5 (6 + 27)

    = 165

3)     Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 2004  pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 2006 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk tahun 2009 adalah …..

Pembahasan :

U₁ = 6

U₃ = 5

U₅ + U7 = 36 maka  a + 4b + a +6b  = 36

        maka  r² = 9

                                    r = 3

U₆        = ar⁵

   = 6 . (3)⁵

   = 1458 orang

UJI KOMPETENSI  9

Indikator Soal 1: Siswa dapat menentukan suku ke n dan jumlah n suku barisan aritmetika.

1.   Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan ini adalah ....

A.      62

B.      68

C.      72

D.      74

E.       76

2.   Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut yaitu 7 dan 27. Suku ke-20 barisan tersebut adalah ....

A.      77

B.      76

C.      75

D.      67

E.       66

3.   Jika suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 11 dan suku ke-11 adalah 29, berapakah suku ke-20 barisan tersebut?

A.      53

B.      56

C.      60

D.      64

E.      65

4.   Suku ke-50 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, … adalah ….

A.      101

B.      103

C.      149

D.      152

E.      153

5.   Diketahui jumlah suku ke-2 dan ke-4 dari barisan aritmetika adalah 26. Dan selisih suku -8 dan ke-5 adalah 9. Suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut adalah ... .

A.      18

B.      24

C.      28

D.      34

E.       43

6.   Suku ke-3 dan suku ke-8 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 22 dan 47. Jumlah dua belas suku pertama deret tersebut adalah....

A.       924

B.      852

C.       504

D.       474

E.        368

7.   Jumlah semua bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi oleh 5 adalah…

A.      7400

B.      7600

C.      7800

D.      8000

E.       8200

8.   Dari suatu barisan aritmetika,suku ke-3 adalah 36.Jumlah suku ke-5 dan suku ke-7 adalah 144. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah ….

A.      840

B.      660

C.      640

D.      630

E.       315

9.   Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 7 dan suku ke-7 adalah 19. Jumlah 25 suku pertama deret tersebut adalah ….

A.      825

B.      850

C.      875

D.      900

E.      925

10.    Dari suatu deret aritmetika dikatahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke 10 adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertama deret itu adalah …

A.      1.650

B.      1.710

C.      3.300

D.      4.280

E.       5.300

Indikator Soal :Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertama deret geometri.

1.   Suku ke tiga dan keenam barisan geometri berturut-turut adalah 18 dan 486. Suku kedelapan barisan tersebut adalah ….

A.    4.374

B.    3.768

C.    2.916

D.    1.458

E.     1.384

2.   Suku ketiga dan ketujuh suatu barisan geometri berturut-turut adalah 6 da 96. Suku kelima barisan tersebut adalah ….

A.      18

B.      24

C.      36

D.      48

E.      54

3.   Suku kedua deret geometri dengan rasio positif adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah ….

A.      5.215

B.      5.210

C.      5.205

D.      5.120

E.       5.115

4.   Dalam suatu deret Geometri diketahui U₁ = 512 dan U₄ = 64. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ….

A.      1.008

B.      1.016

C.      2.016

D.      2.028

E.       2.032

5.   Suatu barisan geometri diketahui U₃+U₄ = 36. Jika rasio barisan tersebut     maka nilai suku kedelapan adalah ….

A.      3

B.      2

C.    

D.   

E.    

6.   Suku pertama dan suku keenam barisan geometri berturut-turut 6 dan – 192 . jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ….

A.  774

B.  762

C.  484

D.  378

E.   258

7.   Diketahui suatu deret geometri positif dengan suku pertama 2 dan jumlah tiga suku pertamanya 26. Jumlah lima suku pertamanya ….

A.  242

B.  186

C.  138

D.  80

E.   52

8.   Diketahui suku ke-2 dan suku ke-5 deret geometri berturut-turut 3 dan 24. Jumlah 6 suku pertama deret tesebut adalah ….

A.  72

B.  84,5

C.  88

D.  94,5

E.   98

9.   Diketahui suku ke-4 dan suku ke-6 barisan geometri berturut-turut 4 dan 36. Suku ke 8 barisan tersebut adalah ….

A.  81

B.  243

C.  324

D.  426

E.   712

10.    Diketahui barisan geometri dengan suku ke-6 adalah 486 dan suku ke-3 adalah 18. Jumlah lima suku pertama deret yang bersesuaian adalah ….

A.  81

B.  121

C.  162

D.  242

E.   484

Indikator Soal 3:Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.

1.   Seorang ayah akan membagikan 78 ekor sapi kepada keenam anaknya yang banyaknya setiap bagian mengikuti barisan aritmetaika. Anak termuda mendapat bagian paling sedikit, yaitu 3 ekor dan anak tertua mendapat bagian terbanyak. Anak ketiga mendapat sebanyak ….

A.  11 ekor

B.  15 ekor

C.  16 ekor

D.  18 ekor

E.  19 ekor

2.   Di antara bilangan 4 dan 100 disisipkan sebelas bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika. Jumlah semua bilangan yang disisipkan adalah ….

A.  572

B.  530

C.  480

D.  420

E.  360

3.   Dalam suatu ruang pementasan terdapat 15 baris kursi. Pada baris terdepan terdapat 24 kursi dan pada baris-barisberikutnya selalu bertambah 4 kursi. Banyak kursi dalam ruang tersebut ada … buah.

A.  600

B.  780

C.  820

D.  840

E.  920

4.   Dita memotong pita menjadi 10 bagian. Panjang potongan pita tersebut membentuk deret aritmetika. Potongan terpanjang 42 cm dan terpendek 24 cm. panjang pita tersebut sebelum dipotong … cm.

A.  120

B.  180

C.  240

D.  216

E.  324

5.   Jumlah produksi suatu pabrik pada setiap bulannya membentuk deret aritmatika. Jika banyak produksi pada bulan keempat 17 ton dan jumlah produksi selama empat bulan pertama 44 ton, maka banyak produksi pada bulan kelima adalah ….

A.  20 ton

B.  21 ton

C.  22 ton

D.  23 ton

E.  24 ton

6.   Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang. Pada tahun berikutnya turun secara tetap sebesar 80 unit pertahun. Perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang pada tahun ke ….

A.  24

B.  25

C.  26

D.  27

E.  28

7.   Wawan menabung di BMT dengan selisih kenaikan tabungan  tetap sebesar Rp5000,00. Pada bulan pertama menabung Rp 50000,00. Dengan tanpa memperhitungkan bagi hasil dari BMT, besar tabungan tersebut selama dua tahun adalah ….

A.  Rp1.315.000,00

B.  Rp1.320.000,00

C.  Rp2.040.000,00

D.  Rp2.580.000,00

E.  Rp2.640.000,00

8.   Jumlah delapan suku pertama suatu deret geometri adalah 1.530. jika rasio deret tersebut sama dengan 2, maka jumlah suku kedua dan kelima adalah ….

A.  80

B.  96

C.  108

D.  120

E.  144

9.   Pada saat yang sama Sri mulai menabung Rp100.000,00 dan Atik menabung Rp80.000,00. Kemudian tiap bulan Sri menabung Rp1.000,00 dan atik Rp1.500,00 Setelah berapa bulan tabungan Sri dan Atik tepat sama?

A.  38 bulan

B.  39 bulan

C.  40 bulan

D.  41 bulan

E.  42 bulan

10.    Seorang karyawan pada permulaan bekerja dengan gaji Rp1.000.000,00. Apabila tiap tahun mendapat kenaikan gaji sebesar Rp50.000,00. Berapa besar gaji yang akan diterima setelah bekerja 10 tahun ?

A.  Rp1.350.000,00

B.  Rp1.400.000,00

C.  Rp1.450.000,00

D.  Rp1.500.000,00

E.  Rp1.550.000,00