A. Persamaan
Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠0 akar-akarnya x1 dan x2,
maka
dan
Dari kedua akar di atas
yaitu x1 dan x2 kita jumlahkan
Dari kedua akar di atas
yaitu x1 dan x2 kita kalikan
Dari
uraian di atas dapat diperoleh hal-hal sebagai berikut:
1.
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠0 akar-akarnya x1 dan x2,
maka berlaku:
2.
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠0akar-akarnya x1 dan x2, maka berlaku:
3.
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠0 akar-akarnya x1 dan x2, maka berlaku:
/
Contoh
:
Diketahui persamaan kuadrat
x2 – 4x – 8 = 0 akar-akarnya x1 dan x2.
Tentukan nilai :
a. x1
+ x2
b. x1
. x2
c. x12
+ x22
d. x1 – x2
e. x12..x2
+ x1.x22
Penyelesaian:
a. x1
+ x2= =
=
b. x1
. x2 =
c. x12
+ x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1.
x2
= 42 – 2.(-8)
= 16 + 16 = 32
d. (x1 – x2)2
= x12 – 2x1.x2 +x22
= x12
+x22 – 2x1.x2
- = 32 – 2.(-8)
= 32 +16
(x1 – x2)2 = 48
(x1 – x2)
=
=
= 4
e. x12..x2
+ x1.x22 = x1 . x2(x1
+ x2)
= -8.4 = -32
Coba
selesaikan contoh soal dengan menggunakan rumus tersebut diatas. Banding kan
hasil yang kalia peroleh dengan hasil pada contoh soal di atas. Samakah
hasilnya?
B. Pertidaksamaan
Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu bentuk
pertidaksamaan yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umumnya:
ax2 + bx + c < 0, a,
b, c ÃŽ R dan a ≠ 0
ax2 + bx + c > 0, a,
b, c ÃŽ R dan a ≠ 0
ax2 + bx + c ≤ 0, a,
b, c ÃŽ R dan a ≠ 0
ax2 + bx + c ≥ 0, a,
b, c ÃŽ R dan a ≠ 0
Penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat dapat ditentukan dengan menggunakan diagram garis bilangan dengan cara
sebagai berikut:
a.
Ubah ruas kanan menjadi
nol, (dengan cara menambah atau mengurangi kedua ruas).
b.
Tentukan akar-akar
atau pembuat nol ruas kiri (misal
akar-akarnya x1 dan x2)
c.
Lukis akar-akar pada
garis bilangan
d.
Tentukan tanda
nilai-nilai x (+ atau -) pada setiap interval
Catatan :
Untuk x1 ≠ x2 : jika a > 0 maka dari kiri ke kanan pada
garis bilangan berturut-turut (+, -, +)
Jika
a< 0 maka dari kiri ke kanan pada garis bilangan berturut-turut (-, +, -)
Untuk x1 = x2: jika
a > 0 maka dari kiri ke kanan pada garis bilangan berturut-turut (+, +)
Jika
a< 0 maka dari kiri ke kanan pada garis bilangan berturut-turut (-, -)
e. Tentukan
himpunan penyelesaian, yaitu daerah yang nilainya memenuhi seperti yang
diminta.
Catatan : jika
tanda pertidaksamaan dalam soal < 0 maka daerah penyelesaian adalah daerah
bertanda – , sedangkan untuk tanda pertidaksamaan dalam soal > 0 maka daerah
penyelesaian adalah daerah bertanda +.
Contoh
1:
Tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 + x – 6 < 0
Penyelesaian:
Pembuat
nol x2 + x – 6 = 0
Û(x
+ 3)(x – 2)=0
Û
x = -3 atau x = 2
|
-3
|
|
2
|
|
+ + + + +
|
|
+ + + + +
|
|
-
- - - --
|
Karena
a = 1 artinya a > 0 dan x1
≠ x2 maka tanda pada garis bilangan dari kiri ke kanan berturut
(+, - ,+)
Karena
dalam soal tanda pertidaksamaan < maka daerah penyelesaian bertanda –
Jadi
HP = {x | -3 < x < 2}
Contoh
2:
Tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat -x2 + 2x + 3 ³
0
Penyelesaian:
Pembuat
nol -x2 + 2x + 3 = 0
Û(-x - 1)(x – 3)=0
Û
x = -1 atau x = 3
|
-1
|
|
3
|
|
+ + + + +
|
|
-
- - - --
|
|
-
- - - --
|
Karena
a = -1 artinya a < 0 dan x1
≠ x2 maka tanda pada
garis bilangan dari kiri ke kanan berturut (-, +, -)
Karena
dalam soal tanda pertidaksamaan ³
maka daerah penyelesaian bertanda +
Jadi
HP = {x |-1
< x < 3}
Contoh
3:
Tentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 2x > -1
Penyelesaian:
x2 – 2x + 1 > 0
Pembuat
nol x2 – 2x + 1 = 0
Û(
x – 1)(x – 1)=0
Û
x = 1 atau x = 1
|
1
|
|
+ + + + +
|
|
+ + + + +
|
Karena
a = 1 artinya a > 0 dan x1
= x2 maka tanda pada garis bilangan dari kiri ke kanan berturut
(+, +)
Karena
dalam soal tanda pertidaksamaan > maka daerah penyelesaian bertanda +
Jadi
HP = {x | x < 1 atau x > 1}
UJI KOMPETENSI
5
Indikator
soal 1:Menyelesaikan operasi
aljabar akar-akar
persamaan kuadrat
1.
Jika x1 dan
x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat 2x² – 3x – 7 = 0, maka nilai (x1 + x2 ) ²
– 2x1x2 = ….
2.
Akar-akar persamaan
kuadrat 3x2 – x + 9 = 0 adalah x1 dan x2.
Nilai
= ....
A.
B.
C.
D.
E.
3. Akar-akar
persamaan kuadrat x2 – 2x – 3
= 0 adalah x1 dan x2. Jika x1> x2,
maka nilai x1 – x2 = ....
A.
–4
B.
–2
C.
0
D.
2
E.
4
4.
Akar-akar persamaan
kuadrat x2 – 5x – 10 = 0 adalah a
dan b
. Nilai a2
+ b2
adalah ....
A.
45
B.
29
C.
21
D.
15
E. 5
5.
Akar-akar persamaan
kuadrat 3x2 – 4x + 2 = 0 adalah α dan β. Nilai (α +β)2
– 2αβ = ....
A.
B. 1
C.
D.
E. 0
6.
Akar – akar persamaan
2x2 + 2px – q2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka
nilai pq = ….
A. 6
B. –
2
C. –
4
D. –
6
E. –
8
7. Persamaan
2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12
+ x22 = 4, maka nilai q = ….
A. –
6 dan 2
B. – 6 dan – 2
C. –
4 dan 4
D. –
3 dan 5
E. – 2 dan 6
8.
Diketahui akar-akar
persamaan kuadrat 2x2 -7x – 6 = 0 adalah x1 dan x2
nilai
adalah . . . .
A.
B.
C.
D.
E.
9.
Akar-akar persamaan
kuadrat
adalah
dan
. Jika
dan
> 0 maka nilai
adalah . . . .
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 10
10. Diketahui
akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah
dan
. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
dan
adalah ….
A. x2
– 6x + 1 = 0
B. x2
+ 6x + 1 = 0
C. x2
– 3x + 1 = 0
D. x2
+ 6x – 1 = 0
E. x2
– 8x – 1 = 0
Indikator
soal 2 : Menyelesaikan
pertidaksamaan kuadrat
1.
Himpunan Penyelesaian
dari x² – 10x + 21 < 0 adalah ….
A. {x|
x < 3 atau x > 7, x ÃŽ R}
B. {x|
x < -7 atau x > 3, x ÃŽ
R}
C. {x|
-7 < x < 3, x ÃŽ R}
D. {x|
-3 < x < 7, x ÃŽ R}
E. {x|
3 < x < 7, x ÃŽ R}
2.
Himpunan
penyelesaian dari pertidak samaan –x2
+ x + 12 £ 0 , x ÃŽ
R adalah ....
A. {x|
-3 £
x £
4}
B. {x|
-4 £
x £
3}
C. {x| x £ -3 atau x ³ 4}
D. {x| x £ -4 atau x ³ 3}
E. {x| x £
3 atau x ³
4}
3.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 –
2x – 8
0, untuk xÃŽR adalah….
A.
B.
C.
D.
E.
4.
Himpunan penyelesaian
dari pertidaksamaan –x2 + 2x + 8 < 0 adalah ....
A. {x½-4 < x
< 2}
B. {x½-2 < x < 4}
C. {x½2 < x < 4}
D. {x½x < -4
atau x > 2}
E. {x½x < -2
atau x > 4}
5.
Himpunan penyelesaian
dari x(2x + 5) ≤ 12 adalah ....
A. {x│x ≤ -4 atau x ≥
, x ε R}
B. {x│x ≤
atau x ≥ 4, x ε R}
C. {x│ -4 ≤ x ≤ -
, x ε R}
D. {x│-
≤ x ≤ 4, x ε R}
E. {x│-4 ≤ x ≤
, x ε R}
6. Himpunan
Penyelesaian pertidaksamaan (x + 2)2 + 3(x – 2) –6 < 0 adalah ....
A. {x½-1
< x < 8, x ÃŽ
R}
B. {x½-8
< x < 1, x ÃŽ
R}
C. {x½-8
< x < -1, x ÃŽ
R}
D. {x½x
< -1 atau x > 8, x ÃŽ R}
E. {x½x
< -8 atau x > 1, x ÃŽ R}
7.
Himpunan penyelesaian
pertidaksamaan –x2 + x + 12 ≤ 0
adalah ….
A. {x½-3
≤ x ≤ 4}
B. {x½-4
≤ x ≤ 3}
C. {xçx
≤ -4 atau x ³
3}
D. {xçx
≤ -3 atau x ³
4}
E. {xçx
≤ -4 atau x ³
4}
8.
Nilai-nilai
x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat
adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.
9.
Bentuk
aljabar
bernilai
positif untuk ….
A.
B.
C.
D.
E.
10.
Himpunan penyelesaian
pertidaksamaan
, adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.
0 komentar:
Posting Komentar