A. Pernyataan,
Kalimat Terbuka, dan Ingkarannya
1.
Pernyataan
Pernyataan
adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi
tidak sekaligus benar dan salah.
Contoh :
1.) Semarang ibu kota provinsi Jawa Tengah
(benar)
2.)
5 adalah bilangan genap (salah)
Pernyataan dinotasikan dengan huruf
kecil misal : p, q, r, s, t.
2. Kalimat
Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih
memuat perubah (variable ) dan belum dapat ditentukan nilai benar atau salah
Contoh :
5
+ x = 10 (memuat peubah x) ,ini belum
dapat diketahui
nilai kebenarannya . Nilainya tergantung
peubah x.
3. Ingkaran
/ Negasi
Ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran
berlawanan dengan nilai pernyataan semula dan dinotasikan “ ~ ”
Contoh :
p : Garam
rasanya asin
Negasinya : ~ p : Garam
rasanya tidak asin.
Tabel
kebenaran pernyataan p dan
ingkarannya sebagai berikut :
|
p
|
~ p
|
|
B
S
|
S
B
|
Apabila p
pernyataan yang benar maka negasinya bernilai salah dan sebaliknya.
B. Operasi
Logika
1.
Konjungsi
Notasi “ ^ “ dibaca “dan” .
Nilai kebenaranya adalah apabila kedua pernyataan bernilai benar selainnya
bernilai salah.
Tabel kebenaran :
|
p
|
q
|
p ^q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
2. Disjungsi
Notasi
“ Ù§
“ dibaca “atau” .
Nilai
kebenaran dari disjungsi adalah Jika salah satu pernyataan benar maka disjungsi
tersebut bernilai benar, selainnya bernilai salah.
Tabel kebenaran :
|
p
|
q
|
p Ù§ q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
3. Kondisional = Implikasi
Notasi
“ Þ “ dibaca “jika ……. maka …….”
Implikasi
dari pernyataan p Þ q, di baca jika p maka q, p di sebut antesenden,
sedangkan q disebut konsekuen.
Implikasi
akan bernilai salah jika antesenden bernilai benar sedangkan konsekuen bernilai
salah, selainnya bernilai benar.
Tabel
kebenaran :
|
p
|
q
|
p Þq
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
4. Bikondisional
= Bi-Implikasi
Notasi “ Û “ dibaca “........jika
dan hanya jika …….”
Biimplikasi
bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama , selainnya bernilai salah.
Tabel kebenaran :
|
p
|
q
|
p Ûq
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
C. Pernyataan
Majemuk
1.
Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua
pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh :
Tunjukkan bahwa : ~ ( p v q ) º (~p ^ ~q)
Jawab :
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p vq
|
~(p vq)
|
~p ^ ~q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
Bernilai sama
~ ( p v q ) º (~p ^ ~q) , terlihat bernilai sama maka dikatakan
ekuivalen.
2. Kuantor
:
§ Kuantor
khusus (eksistensial)
notasi
: “$” dibaca : ada / beberapa/terdapat.
Contoh: Beberapa siswa tidak masuk sekolah.
Ada anak yang rajin belajar.
Terdapat siswa yang tidak suka
matematika
§ Kuantor
Umum (universal)
notasi :
“"”
dibaca : semua / setiap
Contoh: Semua bilangan genap habis dibagi dua.
Setiap segitiga mempunyai jumlah sudut
1800
3. Negasi dari pernyataan majemuk
§ Negasi Konjungsi: ~(pÙq) º ~pÚ~q
Contoh :
Pernyataan
: Aminah adalah anak
yang pandai dan pendiam.
Negasinya
: Aminah adalah anak yang tidak
pandai atautidak pendiam.
§ Negasi Disjungsi : ~(pÚq) º ~pÙ~q
Contoh:
Pernyataan : 4 adalah bilangan genap atau6
adalah foktor dari 12.
Negasinya : 4
adalah bukan bilangan genap dan 6 adalah bukan faktor 12.
§ Negasi Implikasi: ~(pÞq) º pÙ~q
Contoh:
Pernyataan : Jika Tono lulus ujian maka ia
dibelikan motor.
Negasinya : Tono lulus ujian dan iatidak
dibelikan motor.
§ Negasi Biimplikasi : ~(pÛq) º (pÙ~q) Ú (qÙ~p)
Contoh :
Pernyataan : 5
bilangan bulat jika dan hanya jika 20 habis dibagi 2
Negasinya : 5 bilangan bulat dan 20 tidak
habis dibagi 2 atau 20 habis di bagi 2 dan 5 bukan bilangan bulat.
§ Kuantor Eksistensial :
Ada /beberapa/terdapat….
Negasinya : semua/setiap …….tidak ……
Contoh: :
Pernyataan : Beberapa siswa suka mata
pelajaran matematika
Negasinya
: Semua siswa tidak suka mata pelajaran matematika
§ Kuantor Universal:
Semua / setiap........
Negasinya : ada/beberapa/terdapat…….tidak ……
Contoh:
Pernyataan : Semua
siswa mengikuti lomba mata pelajaran
matematika
Negasinya
: Beberapa siswa tidak
mengikuti lomba mata pelajaran matematika.
4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Konvers
p Þ q q
® p
Invers
Invers
~p ® ~q Konvers ~q
® ~p
Contoh:
Tentukan konvers, invers, kontraposisi dan ingkaran
dari: “ Jika Harun rajin belajar maka
Harun naik kelas.
Jawab:
Konvers :
Jika Harun naik kelas, maka Harun rajin belajar.
Invers :
Jika Harun tidak rajin belajar, maka Harun tidak naik kelas.
Kontraposisi: Jika Harun tidak naik kelas, maka Harun tidak
rajin belajar.
Ingkarannya: Harun rajin belajar dan Harun tidak naik
kelas.
D. Penarikan
Kesimpulan
1. Modus Ponens
Premis
1 : p ® q (B)
Premis
2 : p (B)
Konklusi
:
\
q (B)
Contoh:
Premis 1 Jika
hari hujan, maka jalan becek
Premis
2 Hari hujan
Konklusi: Jalan
becek
2. Modus Tollens
Premis
1 : p ® q (B)
Premis
2 : ~ q (B)
Konklusi
:
\~ p (B)
Contoh:
Premis 1 : Jika harga sapi naik, maka harga daging
naik
Harga
daging tidak naik
Konklusi:
Harga sapi tidak naik.
3. Silogisme
Premis
1 : p ® q (B)
Premis
2 : q ® r (B)
Konklusi
:
\p ® r (B)
Contoh:
Premis 1 : Jika
matemtika pelajaran berguna makabelajar matematika penting
Premis 2 :Jika belajar matematika penting maka orang harus belajar
matematika.
Konklusi: Jika
matematika pelajaran berguna maka orang harus belajarmatematika.
UJI KOMPETENSI
1
Indikator soal 1:Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan
majemuk
1. Jika p bernilai benar, q bernilai salah,
sedang ~p dan ~q berturut-turut ingkaran dari p dan q, maka pernyataan-pernyataan
berikut yang benar adalah ….
A. p
®
q bernilai benar
B. ~p
®
~q bernilai benar
C. ~p
®
~p bernilai salah
D. ~p
®
q bernilai salah
E. q
®
p bernilai salah
2.
Pernyataan “jika Amir lulus ujian, maka Amir akan
kerja”. Senilai dengan ...
A. Jika
Amir lulus ujian, maka Amir tidak akan kerja
B. Jika
Amir tidak lulus ujian, maka Amir akan kerja
C. Jika
Amir tidak lulus ujian, maka Amir tidak akan kerja
D. Jika
Amir kerja, maka Amir lulus ujian
E. Jika
Amir tidak kerja, maka Amir tidak lulus ujian
3.
Nilai kebenaran pada kolom ketiga adalah ….
|
p
|
q
|
~p ^q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
….
….
….
….
|
A. SBBS
B. SBSB
C. SSBS
D. BSSB
E. BSBS
4.
Nilai
kebenaran yang tepat untuk pernyataan
, pada table berikut
adalah….
|
p
|
q
|
|
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
…
…
…
…
|
A.
SBSB
B.
SSSB
C.
SSBB
D.
SBBB
E.
BBBB
5. Perhatikan
tabel dibawah ini
|
p
|
q
|
(p ^ ~q) => ~q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
…
…
…
…
|
Nilai
kebenaran dari pernyataan majemuk yang dinyatakan dengan lambang (p^ ~q) => ~p
pada table diatas adalah .…
A. BBSB
B. BSBB
C. SBSB
D. BSBS
E. BSSB
6. Nilai kebenaran dari pernyataan ~p Þ q
adalah ….
A. BSBB
B. BBSB
C. BBBS
D. BSBB
E. BBSS
7. Jika pernyataan p bernilai salah dan q
bernilai benar, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai benar adalah
….
A.
q Û p
B.
p Ú~ p
C.
~q Ù p
D.
~p Û~q
E.
pÞ q
8. Nilai kebenaran pernyataan majemuk ( ~ p Þ q) Ú~q pada tabel berikut adalah....
|
p
|
q
|
( ~ p Þ q) Ú~q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
|
A.
SBSB
B.
BBBS
C.
BSBB
D.
BBBB
E.
BBSS
9. Jika p dan q adalah pernyataan-pernyataan salah, maka
pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah ….
A.
p Þ~q
B.
p Ù~q
C.
~p Ùq
D.
~p Û q
E.
pÚq
10. Nilai kebenaran dari pÞ~ (pÙ q) adalah ….
A. BBBB
B. SSSB
C. BSBS
D. SBBB
E. SSBB
Indikator soal 2
: Menentukan ingkaran suatu pernyataan
majemuk
1.
Ingkaran
dari kontraposisi p ® q ialah
….
A. q Ù p
B. ~q Ú p
C. p Ú ~q
D. q ® p
E. ~q Ù p
2.
Ingkaran
pernyataan : “Berapa ikan bernapas dengan paru-paru” adalah ….
A. Ikan
paus bernapas dengan paru-paru
B. Beberapa
ikan bernapas dengan insang
C. Beberapa
ikan bernapas tidak dengan paru-paru
D. Semua
ikan bernapas tidak dengan paru-paru
E. Semua
ikan bernapas dengan insang
3.
Pernyataan :“Semua murid menganggap matematika
sukar” maka ingkarannya adalah ….
A. Ada
murid yang menganggap matematika sukar
B. Tak
seorang muridpun menganggap matematika sukar
C. Ada
murid yang menganggap matemtika tidak sukar
D. Semua
murid menganggap matematika mudah
E. Beberapa
murid menganggap matematika sukar
4.
Ingkaran pernyataan : “Semua peserta UAN membawa
kalkulator” adalah ....
A. Semua
peserta UAN tidak membawa kalkulator
B. Ada
peserta UAN membawa kalkulator
C. Beberapa
peserta UAN tidak membawa kalkulator
D. Tidak
semua peserta UAN membawa kalkulator
E. Beberapa
peserta UAN membawa kalkulator
5.
Ingkaran
dari pernyataan : “ 18 habis dibagi 2 atau 9 “ adalah....
A. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9
B. 18 tidak habis di bagi 2 dan 9
C. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi
9.
D. 2 dan 9 membagi habis 18
E. 18 tidak habis dibagi 2 atau 9
6.
Ingkaran
dari pernyataan “ beberapa siswa memakai kacamata” adalah....
A. Beberapa siswa tidak memakai kacamata.
B. Semua siswa memakai kacamata
C. Ada siswa tidak memakai kacamata
D. Tidak benar semua siswa memakai kacamata
E. Semua siswa tidak memakai kacamata
7.
Negasi
dari : “ Permintaan terhadap sebuah
produk tinggi dan harga barang naik” adalah ….
A. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi
atau harga barang tidak naik.
B. Permintaan terhadap sebuah produk
tidak tinggi atau harga barang naik.
C. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi
dan harga barang tidak naik.
D. Permintaan terhadap sebuah produk
tidak tinggi dan harga barang tidak
naik.
E. Permintaan terhadap sebuah produk tidak
tinggi atau harga barang tidak naik.
8.
Ingkaran
dari pernyataan :” Jika alam semakin rusak maka kehidupan manusia tidak aman”,
adalah ….
A. Jika alam tidak semakin rusak maka
kehidupan manusia aman.
B. Alam semakin rusak dan kehidupan manusia
tidak aman.
C. Alam tidak semakin rusak tetapi kehidupan
manusia aman
D. Alam semakin rusak dan kehidupan
manusia aman
E. Alam semakin rusak atau kehidupan manusia
tidak aman
9.
Ingkaran
dari pernyataan : Jika semua naik kelas maka ada orang tua tidak senang” adalah
….
A. Jika semua anak naik kelas maka semua
orang tua tidak senang.
B. Jika ada anak tidak naik kelas maka semua
orang tua tidak senang.
C. Jika ada orang tua tidak senang maka semua
anaak tidak naik kelas.
D. Semua anak naik kelas dan semua orang tua senang
E. Semua anak naik kelas dan beberapa orang
tua tidak senang.
10.
Negasi
dari pernyataan “ Jika ulangan dibatalan maka semua siswa senang, adalah....
A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak
senang.
B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada
muriid senang.
C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua
murid senang.
D. Ulangan dibatalkan dan ada
murid tidak senang.
E. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid tidak senang.
Indikator soal 3:
Menentukan
kesimpulan dari beberapa premis
1.
Diketahui
p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut :
|
1. p ® q
p ® r
\q ® r
|
2. p ® q
~q
\ ~p
|
3. p ® q
p
\ q
|
Argumentasi
yang sah adalah ….
A. hanya
1
B. hanya
1 dan 2
C. hanya
1 dan 3
D. hanya
2 dan 3
E. 1, 2
dan 3
2.
Premis
1: Jika saya diterima di Universitas
Negeri maka saya akan rajin belajar.
Premis 2: Saya tidak rajin belajar
Kesimpulannya adalah …
A. saya
beruntung
B. saya
tidak beruntung
C. saya
diterima di Universitas Negeri
D. saya
tidak diterima di Universitas Negeri
E. saya
rajin dan diterima di Universitas
Negeri
3.
Penarikan kesimpulan yang sah adalah :
|
A. p Þ q (B)
p
(B)
\q (B)
B. p Þ ~q (B)
q Þ r (B)
\ p ®
q (B)
C. p ® q (B)
q
(B)
\~p (B)
|
D. ~p ® q
~q
\ ~q
E. ~p Þ ~q
q Þ ~r
\~p
Þ
~r
|
4.
Jika nilainya baik maka lulus,
tidak lulus
kesimpulannya ….
A. nilainya
baik
B. tidak
lulus
D. semua
lulus
E. lulus
dengan nilai baik
5.
Diketahui premis-premis:
Premis
1 : Jika guru matematika tidak datang
maka semua siswa senang.
Premis
2 : ada siswa yang tidak senang.
Kesimpulan
yang sah dari premis-premis diatas adalah….
A. Guru
matematika tidak senang.
B. Semua
siswa senang.
C. Guru
matematika senang.
D. Guru
matematika datang.
E. Ada
siswa yang tidak senang.
6. Diketahui
premis-premis:
p
: Jika ia dermawan maka ia suka memberi
q: Ia suka memberi
Kesimpulan
yang sah untuk dua premis di atas adalah ….
A. Ia
tidak dermawan
B. Ia
dermawan tetapi tidak suka memberi
C. Ia
tidak dermawan dan tidak suka memberi
D. Ia
dermawan
E. Ia
tidak dermawan tetapi tidak suka memberi
7.
Diketahui
premis-premis:
p
: Jika Anwar rajin belajar maka ia pandai
q: Jika Anwar pandai maka ia lulus ujian
nasional.
Kesimpulan
yang sah untuk dua premis di atas adalah ….
A. Anwar
rajin belajar tetapi tidak pandai
B. Anwar
rajin belajar dan lulus ujianelajar
C. Anwar pandai dan lulus ujian
D. Anwar
tidak pandai
E. Jika
Anwar rajin belajar, maka ia lulus ujian
nasional
8.
Diketahui
premis-premis:
p : Jika semua
warga negara membayar pajak , maka banyak fasilitas umum dapat dibangun.
q: Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun.
Kesimpulan
yang sah untuk kedua premis di atas
adalah ….
A. Semua
warga negara tidak membayar pajak.
B. Ada
warga negara tidak membayar pajak
C. Semua
warga negara membayar pajak.
D. Semua
warga negara membayar pajak dan tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun.
E. Semua
warga negara tidak mambayar pajak atau banyak fasilitas umum dapat dibangun.
9.
Diketahui
premis-premis:
p
: Jika ada kerusakan mesin maka mobil tidak dapat bergerak.
q: Jika dapat melanjutkan perjalanan maka mobil
dapat bergerak.
Kesimpulan
yang sah untuk kedua premis di atas
adalah ….
A. Jika
tidak ada kerusakan mobil
maka dapat melanjutkan perjalanan.
B. Jika
tidak dapat melanjutkan perjalanan maka ada kerusakan mesin
C. Jika
ada kerusakan mesin
maka tidak dapat melanjutkan perjalanan.
D. Dapat
melanjutkan perjalanan.
E. Mobil
dapat bergerak.
10. Diketahui
premis-premis:
p
: Jika Nia adik Susi
maka Agus adik Nova
q: Ternyata benar bahwa Nia adik Susi.
Kesimpulan
yang sah untuk kedua premis di atas
adalah ….
A.
Nia adik Nova
B.
Agus adik Nova
C.
Anik adik Nova
D.
Anik adik Agus
E.
Nia Adik Agus.