Sebuah roket membawa satelit yang akan diorbitkan di
luar angkasa. Misalkan jarak s yang ditempuh setelah t detik adalah s = 10t2 m. Dari informasi ini
dapatkah kita hitung kecepatan roket
saat t = 1 detik, saat t = 2 detik, dan seterusnya. Dengan mempelajari turunan
fungsi aljabar , kita coba menyelesaikan permasalahan di atas.
A.
Pengertian Turunan
Fungsi
Turunan fungsi
adalah fingsi
(dibaca “
aksen”) yang
nilainya untuk sembarang
didefinisikan
sebagai :
, apabila limit terdefinisi.
Contoh :
Diketahui fungsi
yang ditentukan
oleh
. Hitunglah nilai dari
Jawab :
= 4 + 8 = 12
= 0 + 8 = 8
Untuk menentukan fungsi turunan
menggunakan cara di atas kurang efektif dan efisien.
Untuk mempermudah perhitungan,
sebaiknya menggunakan bentuk – bentuk umum yang disajikan sebagai teorema –
teorema dasar turunan fungsi, sebagai berikut :
1.
Aturan fungsi konstan
Jika
, dengan k sebuah konstanta maka untuk setiap
, berlaku
2.
Aturan fungsi identitas
Jika
, maka
3.
Aturan pangkat
Jika
, dengan a dan n bilangan real tidak nol, maka
4.
Aturan kelipatan
konstanta
Jika
f(x) = ku(x) dengan k suatu konstanta dan u(x) mempunyai turunan u’(x), maka
5.
Aturan jumlah
Jika f(x) dan
g(x) fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :
6.
Aturan selisih
Jika f(x) dan
g(x) fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :
7.
Aturan hasil kali
Jika f(x) dan
g(x) fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :
8.
Aturan hasil bagi
Jika f(x) dan
g(x), dengan g(x)
0 merupakan fungsi – fungsi yang mempunyai turunan
f’(x) dan g’(x), maka :
Contoh
1. Jika
, maka
= . . ..
Pembahasan :
=
=
=
=
2. Turunan
pertama dari fungsi
adalah . . .
Pembahasan
:
=
=
3. Diketahui
. Jika
, maka nilai
. . .
Pembahasan
:
4 + 4p = 0
p = -1
B.
Aplikasi turunan fungsi
aljabar
Contoh dalam
kehidupan sehari–hari, Anda tentu sering menghadapi permasalahan ketika ingin
mendapatkan jalan terbaik dalam melakukan sesuatu hal. Misalnya, seorang petani
ingin memiliki kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan
terbesar, dan seorang dokter ingin menentukan dosis obat yang terkecil untuk
menyembuhkan suatu penyakit. Masalah–masalah tersebut dapat dirumuskan dengan
melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan suatu fungsi tertentu. Untuk lebih
jelasnya, coba Anda perhatikan penggunaan turunan fungsi pada contoh berikut
ini.
Contoh
1. Sebuah perusahaan ekspor dan impor memiliki x
karyawan yang masing – masing memperoleh gaji (180x – 3x2)
ribu rupiah per bulan.
a. Berapa jumlah karyawan perusahaan tersebut agar
total gaji seluruh karyawan maksimum?
b. Berapa gaji untuk satu karyawan?
Pembahasan :
a. Dimisalkan: g(x) = 180x –
3x²
g ' (x) = 180 – 3.2x
= 180 – 6x
Menentukan titik
stasioner: g ' (x) = 0
180 – 6x = 0
6x = 180
x =180
x = 30
Jadi, jumlah karyawan
perusahaan tersebut adalah 30 orang.
b. Jika x =30, maka g(30) = 180
. 30 – 3(30)²
= 5400 – 2700
= 2700
Jadi,
gaji masing–masing karyawan sebesar Rp2.700.000,00 per bulan.
2.
Selembar karton dengan panjang 16 cm
dan lebar 10 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat
pojoknya berbentuk persegi (bujur sangkar) yang sisinya x cm. Tentukan :
a. panjang dan lebar alas kotak dinyatakan dalam
x.
b. volume kotak sebagai fungsi x
c.
nilai x agar folume kotak maksimum
d. ukuran (panjang, lebar, tinggi) kotak yang
volumenya maksimum
Pembahasan :
|
x
|
|
x
|
|
x
|
|
x
|
|
x
|
|
x
|
|
10 - 2x
|
|
10 - 2x
|
|
16 - 2x
|
|
x
|
|
x
|
|
16 - 2x
|
|
x
|
a. Panjang (p) = 16 – 2x
Lebar
(l) = 10 – 2x
b. Volume kotak = p . l . t
V(x)
= (16 – 2x)(10 – 2x)(x)
= 4x3 – 52x2 + 160x
c. Volume kotak maksimum ketika V’(x) = 0
12x2
– 104x + 160 = 0 (dibagi 4)
3x2
– 26x + 40 =
0
(3x
– 20)(x – 2) =
0
Nilai
x yang memenuhi
adalah x = 2
d. Panjang = (16 – 2x) = 16
– 4 = 12 cm
Lebar =
(10 – 2x) = 10 – 4 = 6 cm
Tinggi
=
x = 2 cm
3. Sebuah benda bergerak sepanjang suatu kurva.
Pada saat t, posisi benda ditentukan oleh persamaan s (t)
=
t3 – 3t2 + 9t, dimana s dalam
meter dan t dalam detik.
a. Kapankah partikel tersebut akan berhenti?
b. Berapakah jarak maksimum yang ditempuh
benda?
Pembahasan :
a. Panjang lintasan benda: s (t) =
t3 – 3t2 + 9t
Maka s' (t)
=
3t 3 – 1 – 3. 2.
t2 – 1 – 3t2 + 9t 1 – 1= t2 – 6t + 9
Syarat benda berhenti
adalah kecepatan v = 0
Karena v = s'
(t) maka v = 0
s' (t) = 0
t2 – 6t + 9 = 0
(t – 3) (t –
3) = 0
t – 3 = 0
t = 3
Jadi, benda tersebut
berhenti setelah 3 detik
b. Jarak maksimum:
s (3) =
(3)3 – 3 (3)2 +
9 (3)
= 9 – 27 + 27
= 9
Jadi, jarak maksimum yang ditempuh benda adalah 9 meter.
UJI
KOMPETENSI 11
Indikator Soal 1 :menyelesaikan soal turunan
fungsi aljabar
2. Nilai
turunan f(x) =
untuk x = 8 adalah ….
A.
B.
C.
D.
E. 0
3. Turunan
pertama dari fungsi f(x) = 3x3
+ 2x2 + 6x + 6 adalah f’ (x). Nilai f’ (-1) =
….
A. -15
B. -10
C. -5
D. 0
E. 5
4. Turunan
pertama dari fungsi f(x) = 4x3-15x2 + 12x - 9 adalah f’(x).
Nilai f’(3) adalah….
A. 120
B. 90
C. 60
D. 30
E. 12
5. Turunan
fungsi
adalah....
A.
B.
C.
D.
E.
6. Jika
f(x) =
, maka turunannya adalah f’(x) = ....
A.
B.
C.
D.
E.
7. Turunan dari fungsi
adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.
8. Turunan
pertama dari
adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.
9.
Turunan pertama dari fungsi y = (x –
5)(2x + 3)3 adalah y’ = ….
A. (5x – 2)(2x + 3)2
B.
(5x – 12)(2x + 3)2
C. (8x – 2)(2x + 3)2
D. (8x – 7)(2x + 3)2
E. (8x – 27)(2x + 3)2
10.
Diketahui
. Jika f’(x) menyatakn turunan pertama
f(x), maka f(0) = 2 ,
f’(0) = ….
- – 10
- – 9
- – 7
- – 5
- – 3
Indikator Soal 2 : menyelesaikan permasalahan
yang berhubungan dengan turunan fungsi aljabar.
1. Nilai
minimum fungsi f(x) = x3 – 6x2 – 4 pada interval -3 ≤ x ≤
3 adalah …
A. –85
B. –52
C. –36
D. – 20
E. – 12
2. Suatu kurva
dengan persamaan y = f(x), dimana f(x) = 4 +3x – x3 untuk x ≥ 0. Nilai maksimum dari f(x) adalah...
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
3. Nilai maksimum
dari fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 adalah….
A. 0
B. 5
C. 4
D. 45
E. 85
4. Nilai maksimum dari
adalah ….
2.
Sebuah
kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunya volume 4 m ³ terbuat
dari selmbar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran
panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut – turut adalah ….
A.
2 m,
1 m, 2 m
B.
2 m,
2 m, 1 m
C.
1 m,
2 m, 2 m
D.
4 m,
1 m, 1 m
E.
1 m,
1 m, 4 m
6. Sebuah
perusahaan memproduksi x buah barang dengan biaya dinyatakan dalam fungsi B(x)
= 120x – 3x2 (dalam jutaan rupiah), Hasil penjualan maksimum yang
diperoleh adalah . . .
A. Rp
660.000.000,00
B. Rp
1.000.000.000,00
C. Rp
1.200.000.000,00
D. Rp
1.860.000.000,00
E. Rp
2.400.00.000,00
7.
Untuk memproduksi x pasang sepatu
perhari diperlukan biaya (6x2–8x+10) ribu rupiah, sedangkan harga
jual x pasang sepatu
ribu rupiah. Keuntungan maksimum perhari akan didapat
jika sepatu yang diproduksi perhari adalah …. pasang
A. 12
B. 9
C. 7
D. 5
E. 3
8. Sebuah
persegi panjang diketahui panjang ( 2x + 4 ) cm dan lebar ( 8 – x ) cm. Agar
luas persegi panjang maksimum, ukuran lebar adalah ….
A. 7
cm
B. 6
cm
C. 5
cm
D. 3 cm
E.
2 cm
9. Sebuah roket ditembakkan vertical ke atas
dengan ketinggian h meter, dirumuskan sebagai h(t) = 100t – 2t2.
Tinggi maksimum yang dapat dicapai adalah ….. m.
A. 1000
B. 1250
C. 2250
D. 2500
E. 2000
10. Perhatikan gambar !
Luas
daerah yang diarsir pada gambar di atas akan mencapai maksimum jika koordinat
titik B adalah ….
A. (2 ½ , 1 ½ )
B. (2 ½ , 2)
C. (3, 2 ½ )
D. (3, 2 )
E.
(3,
1 ½ )