Teori tentang limit merupakan bagian
dari salah satu cabang matematika yang disebut kalkulus. Teori itulah yang
membedakan kalkulus dari cabang matematika yang lain. Kalkulus pertama kali
ditemukan pada tahun 1665 oleh ilmuwan Inggris Sir Isaac Newton (1642 –
1727). Meskipun demikian, baru pada tahun 1821 Agustin Louis Cauchy (1789
– 1957), seorang cendekiawan Prancis, menjelaskan limit secara terperinci.
A. Pengertian
Limit Fungsi
Limit fungsi merupakan nilai fungsi
yang diperoleh dari suatu pendekatan. Misalkan fungsi
dinyatakan
sebagai
, jika variable x diganti dengan 3, maka
. Kemudian kita perhatikan bilangan yang akan didekati
oleh
jika variable x mendekati 3.
Perhatikan table berikut, nilai
jika x
mendekati 3 dari pihak kurang dari 3.
|
x
|
1
|
2
|
2,5
|
2,9
|
2,99
|
2,999
|
2,9999
|
.
. .
|
|
|
2
|
3
|
3,5
|
3,9
|
3,99
|
3,999
|
3,9999
|
.
. .
|
Dari table di atas, dapat dilihat
bahwa x = 1 berpasangan dengan
= 2 dan x = 2 berpasangan dengan
= 3. Selanjutnya jika variable x mendekati 3 akan
berpasangan dengan
yang mendekati
4. Dengan demikian jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3 maka
akan mendekati 4 dari pihak kurang dari 4.
Perhatikan table berikut, nilai
jika x
mendekati 3 dari pihak lebih dari 3.
|
x
|
.
. .
|
3,0001
|
3,001
|
3,01
|
3,1
|
3,5
|
4
|
5
|
|
|
.
. .
|
4,0001
|
4,001
|
4,01
|
4,1
|
4,5
|
5
|
6
|
Dari table di atas, dapat dilihat
bahwa jika variable x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka
akan mendekati 4 dari pihak lebih dari 4. Dengan
demikian dapat dikatakan bahwa fungsi
yang dinyatakan
oleh
mempunyai limit
4 untuk x mendekati 3, yang ditulis sebagai :
|
Jika
, maka
atau
|
Misalkan diketahui fungsi
dinyatakan
sebagai
, jika variable x diganti dengan 2, maka
. Kemudian kita perhatikan bilangan yang akan didekati
oleh
jika variable x mendekati 2.
Perhatikan table berikut, nilai
jika x
mendekati 2 dari pihak kurang dari 2.
|
x
|
0
|
1
|
1,5
|
1,9
|
1,99
|
1,999
|
1,9999
|
.
. .
|
|
|
2
|
3
|
3,5
|
3,9
|
3,99
|
3,999
|
3,9999
|
.
. .
|
Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa jika variable x
mendekati 2 dari pihak kurang dari 2 atau x mendekati 2 dari pihak kiri
atau
, maka
akan mendekati 4 dari pihak kurang dari 4.
Dengan cara yang sama table
tersebut dapat dikembangkan untuk variable x yang mendekati 2 dari pihak lebih
dari 2.
|
x
|
.
. .
|
2,0001
|
2,001
|
2,01
|
2,1
|
2,5
|
3
|
4
|
|
|
.
. .
|
4,0001
|
4,001
|
4,01
|
4,1
|
4,5
|
5
|
6
|
Dari tabel di atas, dapat dilihat
bahwa jika variable x mendekati 2 dari pihak lebih dari 2 atau x
mendekati 2 dari pihak kanan atau
, maka
akan mendekati 4 dari pihak lebih dari 4.
Dengan demikian dapat dikatakan
bahwa fungsi
yang dinyatakan
oleh
mempunyai limit
4 untuk x mendekati 2, yang ditulis sebagai :
|
Jika
, maka
atau
|
B. Definisi
Limit Fungsi
|
Limit
adalah
untuk
mendekati
, ditulis sebagai :
|
o
disebut limit kiri
o
disebut limit kanan
C. Teorema
Limit
o Jika
, maka
o
o Jika
k konstanta, maka
o
o
o
D. Menentukan
Hasil Limit Fungsi Aljabar
o
o
, dengan
dan
difaktorkan
(diperoleh faktor yang sama yaitu
, kemudian disederhanakan.
o
Limit fungsi di tak
hingga
Ø
, dengan
f(x) dan g(x) dikalikan
dengan n
pangkat tertinggi x pada f(x) dan g(x)
Ø
,
dikalikan
, sehingga diperoleh
dan diselesaikan dengan cara di atas
Contoh :
1. Hitung
. . .
Pembahasan
:
Dengan
substitusi :
Oleh karena dengan substitusi
menghasilkan
, diselesaikan dengan membagi factor yang sama
(3 + 4) = 7
2. Hitung
. . .
Pembahasan
:
= 2
3. Hitung
. . .
Pembahasan :
. . .
4
UJI KOMPETENSI 10
Indikator Soal 1 : Siswa dapat menghitung nilai limit untuk x mendekati a
1. Nilai
dari
….
A.
B.
C. 0
D.
E. –
2
2.
Nilai
....
A.
B.
C.
D.
E.
3.
Nilai
dari
adalah ....
A.
– 6
B.
– 2
C.
0
D.
2
E.
6
4.
Nilai dari
adalah ….
A.
0
B.
2
C.
5
D.
10
E.
15
5. Nilai
adalah ….
A. 0
B. 1
C.
D.
E. 3
6.
= …..
A. 3
B.
C. 2
D. 1
E. – 1
7.
Nilai
=….
A.
– 2
B.
– 1
C.
0
D.
1
E.
2
8. Nilai dari
= ….
A. -6
B. 6
C. 8
D. 9
E. 12
9. Nilai
dari
A.
B.
2
C.
1
D.
0
E.
– 1
10.Nilai
adalah ….
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
E.
Indikator Soal 2 : Siswa dapat menghitung nilai limit untuk x mendekati tak
hingga
1.
Nilai
adalah....
A.
B.
C.
3
D.
2
E.
~
2.
....
A. -
B.
C. 5
D.
E. 2
3.
Nilai
adalah ….
A.
B.
C.
D.
1
E.
0
4. Nilai
….
A.
4
B.
2
C.
1
D.
E.
5. Nilai
= ….
A.
B.
C. 0
D.
E.
6.
Nilai
= ….
A.
B.
C.
D.
E.
7.
|
X
|
A.
5
B.
3
C.
1
D.
0
E.
– 1
8.
Nilai
A.
B.
C.
D.
E.
9. Nilai
A.
– 2
B.
– 32
C. 16
D. 0
E. 32
10. Nilai
= …..
A.
0
B.
C.
D.
E. 2